Increasing-Digits.md

题目地址（475. Increasing Digits）

https://binarysearch.com/problems/Increasing-Digits

题目描述

Given an integer n, return the number of positive integers of length n such that the digits are strictly increasing.

Example 1
Input
n = 2
Output
36
Explanation
We have 12, 13, 14, ..., 89.

Example 2
Input
n = 1
Output
9

前置知识

• 动态规划

思路

动态规划问题的关键就是：假设部分子问题已经解决了，并仅仅考虑局部，思考如何将已解决的子问题变成更大的子问题，这样就相当于向目标走进了一步。

我们可以定义状态 dp[i][j]， i 表示数字的位数，j 表示数字的结尾数字。

于是转移方程就是：dp[i][j] += dp[i - 1][k]，其中 k 是所有小于 j 的非负整数。最后只要返回 dp[n-1] 的和即可。

初始化的时候，由于题目限定了整数，因此需要初始化除了第一位的所有情况都为 1。

关键点

• 数位 DP

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def solve(self, n):
        dp = [[0] * 10 for _ in range(n)]
        dp[0] = [0] + [1] * 9

        for i in range(1, n):
            for j in range(1, 10):
                for k in range(j):
                    dp[i][j] += dp[i - 1][k]
        return sum(dp[-1])

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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