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给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引。如果目标值不存在于数组中,返回它将会被按顺序插入的位置。
你可以假设数组中无重复元素。
示例 1:
- 输入: [1,3,5,6], 5
- 输出: 2
示例 2:
- 输入: [1,3,5,6], 2
- 输出: 1
示例 3:
- 输入: [1,3,5,6], 7
- 输出: 4
示例 4:
- 输入: [1,3,5,6], 0
- 输出: 0
这道题目不难,但是为什么通过率相对来说并不高呢,我理解是大家对边界处理的判断有所失误导致的。
这道题目,要在数组中插入目标值,无非是这四种情况。
- 目标值在数组所有元素之前
- 目标值等于数组中某一个元素
- 目标值插入数组中的位置
- 目标值在数组所有元素之后
这四种情况确认清楚了,就可以尝试解题了。
接下来我将从暴力的解法和二分法来讲解此题,也借此好好讲一讲二分查找法。
暴力解题 不一定时间消耗就非常高,关键看实现的方式,就像是二分查找时间消耗不一定就很低,是一样的。
C++代码
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 分别处理如下三种情况
// 目标值在数组所有元素之前
// 目标值等于数组中某一个元素
// 目标值插入数组中的位置
if (nums[i] >= target) { // 一旦发现大于或者等于target的num[i],那么i就是我们要的结果
return i;
}
}
// 目标值在数组所有元素之后的情况
return nums.size(); // 如果target是最大的,或者 nums为空,则返回nums的长度
}
};
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1)
效率如下:
既然暴力解法的时间复杂度是$O(n)$,就要尝试一下使用二分查找法。
大家注意这道题目的前提是数组是有序数组,这也是使用二分查找的基础条件。
以后大家只要看到面试题里给出的数组是有序数组,都可以想一想是否可以使用二分法。
同时题目还强调数组中无重复元素,因为一旦有重复元素,使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的。
大体讲解一下二分法的思路,这里来举一个例子,例如在这个数组中,使用二分法寻找元素为5的位置,并返回其下标。
二分查找涉及的很多的边界条件,逻辑比较简单,就是写不好。
相信很多同学对二分查找法中边界条件处理不好。
例如到底是 while(left < right)
还是 while(left <= right)
,到底是right = middle
呢,还是要right = middle - 1
呢?
这里弄不清楚主要是因为对区间的定义没有想清楚,这就是不变量。
要在二分查找的过程中,保持不变量,这也就是循环不变量 (感兴趣的同学可以查一查)。
以这道题目来举例,以下的代码中定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里,也就是[left, right] (这个很重要)。
这就决定了这个二分法的代码如何去写,大家看如下代码:
大家要仔细看注释,思考为什么要写while(left <= right), 为什么要写right = middle - 1。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里,[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right,区间[left, right]依然有效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle;
}
}
// 分别处理如下四种情况
// 目标值在数组所有元素之前 [0, -1]
// 目标值等于数组中某一个元素 return middle;
// 目标值插入数组中的位置 [left, right],return right + 1
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right], 因为是右闭区间,所以 return right + 1
return right + 1;
}
};
- 时间复杂度:O(log n)
- 空间复杂度:O(1)
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里,也就是[left, right) 。
那么二分法的边界处理方式则截然不同。
不变量是[left, right)的区间,如下代码可以看出是如何在循环中坚持不变量的。
大家要仔细看注释,思考为什么要写while (left < right), 为什么要写right = middle。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n; // 定义target在左闭右开的区间里,[left, right) target
while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,在 [middle+1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值的情况,直接返回下标
}
}
// 分别处理如下四种情况
// 目标值在数组所有元素之前 [0,0)
// 目标值等于数组中某一个元素 return middle
// 目标值插入数组中的位置 [left, right) ,return right 即可
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right),因为是右开区间,所以 return right
return right;
}
};
- 时间复杂度:$O(\log n)$
- 时间复杂度:$O(1)$
希望通过这道题目,大家会发现平时写二分法,为什么总写不好,就是因为对区间定义不清楚。
确定要查找的区间到底是左闭右开[left, right),还是左闭又闭[left, right],这就是不变量。
然后在二分查找的循环中,坚持循环不变量的原则,很多细节问题,自然会知道如何处理了。
class Solution {
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 定义target在左闭右闭的区间,[low, high]
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) { // 当low==high,区间[low, high]依然有效
int mid = low + (high - low) / 2; // 防止溢出
if (nums[mid] > target) {
high = mid - 1; // target 在左区间,所以[low, mid - 1]
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1; // target 在右区间,所以[mid + 1, high]
} else {
// 1. 目标值等于数组中某一个元素 return mid;
return mid;
}
}
// 2.目标值在数组所有元素之前 3.目标值插入数组中 4.目标值在数组所有元素之后 return right + 1;
return high + 1;
}
}
//第二种二分法:左闭右开
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length;
while (left < right) { //左闭右开 [left, right)
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,在 [middle+1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值的情况,直接返回下标
}
}
// 目标值在数组所有元素之前 [0,0)
// 目标值插入数组中的位置 [left, right) ,return right 即可
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right),因为是右开区间,所以 return right
return right;
}
Golang:
// 第一种二分法
func searchInsert(nums []int, target int) int {
l, r := 0, len(nums) - 1
for l <= r{
m := l + (r - l)/2
if nums[m] == target{
return m
}else if nums[m] > target{
r = m - 1
}else{
l = m + 1
}
}
return r + 1
}
impl Solution {
pub fn search_insert(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
let mut left = 0;
let mut right = nums.len();
while left < right {
let mid = (left + right) / 2;
match nums[mid].cmp(&target) {
Ordering::Less => left = mid + 1,
Ordering::Equal => return ((left + right) / 2) as i32,
Ordering::Greater => right = mid,
}
}
((left + right) / 2) as i32
}
}
class Solution:
def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
middle = (left + right) // 2
if nums[middle] < target:
left = middle + 1
elif nums[middle] > target:
right = middle - 1
else:
return middle
return right + 1
var searchInsert = function (nums, target) {
let l = 0, r = nums.length - 1, ans = nums.length;
while (l <= r) {
const mid = l + Math.floor((r - l) >> 1);
if (target > nums[mid]) {
l = mid + 1;
} else {
ans = mid;
r = mid - 1;
}
}
return ans;
};
// 第一种二分法
function searchInsert(nums: number[], target: number): number {
const length: number = nums.length;
let left: number = 0,
right: number = length - 1;
while (left <= right) {
const mid: number = Math.floor((left + right) / 2);
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] === target) {
return mid;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return right + 1;
};
// 暴力法
func searchInsert(_ nums: [Int], _ target: Int) -> Int {
for i in 0..<nums.count {
if nums[i] >= target {
return i
}
}
return nums.count
}
// 二分法
func searchInsert(_ nums: [Int], _ target: Int) -> Int {
var left = 0
var right = nums.count - 1
while left <= right {
let middle = left + ((right - left) >> 1)
if nums[middle] > target {
right = middle - 1
}else if nums[middle] < target {
left = middle + 1
}else if nums[middle] == target {
return middle
}
}
return right + 1
}
object Solution {
def searchInsert(nums: Array[Int], target: Int): Int = {
var left = 0
var right = nums.length - 1
while (left <= right) {
var mid = left + (right - left) / 2
if (target == nums(mid)) {
return mid
} else if (target > nums(mid)) {
left = mid + 1
} else {
right = mid - 1
}
}
right + 1
}
}
// 二分法(1):[左闭右闭]
function searchInsert($nums, $target)
{
$n = count($nums);
$l = 0;
$r = $n - 1;
while ($l <= $r) {
$mid = floor(($l + $r) / 2);
if ($nums[$mid] > $target) {
// 下次搜索在左区间:[$l,$mid-1]
$r = $mid - 1;
} else if ($nums[$mid] < $target) {
// 下次搜索在右区间:[$mid+1,$r]
$l = $mid + 1;
} else {
// 命中返回
return $mid;
}
}
return $r + 1;
}
//版本一 [left, right]左闭右闭区间
int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target){
//左闭右开区间 [0 , numsSize-1]
int left =0;
int mid =0;
int right = numsSize - 1;
while(left <= right){//左闭右闭区间 所以可以 left == right
mid = left + (right - left) / 2;
if(target < nums[mid]){
//target 在左区间 [left, mid - 1]中,原区间包含mid,右区间边界可以向左内缩
right = mid -1;
}else if( target > nums[mid]){
//target 在右区间 [mid + 1, right]中,原区间包含mid,左区间边界可以向右内缩
left = mid + 1;
}else {
// nums[mid] == target ,顺利找到target,直接返回mid
return mid;
}
}
//数组中未找到target元素
//target在数组所有元素之后,[left, right]是右闭区间,需要返回 right +1
return right + 1;
}
//版本二 [left, right]左闭右开区间
int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target){
//左闭右开区间 [0 , numsSize)
int left =0;
int mid =0;
int right = numsSize;
while(left < right){//左闭右闭区间 所以 left < right
mid = left + (right - left) / 2;
if(target < nums[mid]){
//target 在左区间 [left, mid)中,原区间没有包含mid,右区间边界不能内缩
right = mid ;
}else if( target > nums[mid]){
// target 在右区间 [mid+1, right)中,原区间包含mid,左区间边界可以向右内缩
left = mid + 1;
}else {
// nums[mid] == target ,顺利找到target,直接返回mid
return mid;
}
}
//数组中未找到target元素
//target在数组所有元素之后,[left, right)是右开区间, return right即可
return right;
}